شرح الأسس النسبية في الرياضيات

الأسس

تستخدم الأسس بشكل عام في الكثير من المجالات الرياضية مثل الإحصاء، حيث إنها تساعد في جعل الحسابات الرياضية المتعلقة بكثير من المواضيع سهلة مثل علم الفلك حيث إن المسافة بين الكواكب وبعدها عن الأرض كبيرة جدًا لذلك تستخدم الأسس لتقليل عدد الأصفار في الرقم ووضعها فوق الرقم الذي يُسمى الأساس بعدد ما تكررهذا الرقم وهذا ما يسمى بالأس، وقد يكون الأس عددًا موجبًا أو سالبًا أو قد يكون على شكل كسر، وفي هذا المقال سيتم شرح الأسس النسبية في الرياضيات بالتفصيل.^[١]

تاريخ ظهور الأسس

لما كانت الرياضيات القديمة تختلف عن الرياضيات الحديثة كانت الحاجة إلى مصطلح الأس الذي جاء من اللاتينية، وقد قام العالم الإنجليزي ومؤلف الرياضيات مايكل ستيفل عام 1544م بكتابة الأرقام على شكل أسس وقد قام بتأليف كتاب عنوانه Arithemetica Integra، ولكن بقاعدة أو أساس من اثنين فقط، وقد كان الهدف من استخدام الأسس منذ القدم هو تخفيض أو تقليل عدد منازل الرقم حيث أن كثرة الأرقام والمنازل قد تؤدي إلى ضياع عدد منها وبالتالي الوقوع في الخطأ، وفي حالة كانت المسألة الرياضية معقدة وبحاجة إلى الوصول إلى نتيجة لأنها مهمة وهناك العديد من الأرقام في المسألة فإن التبسيط باستخدام الأسس هو أفضل طريقة للحصول على الجواب وبشكل منطقي وصحيح ولفهم شرح الأسس النسبية في الرياضيات لابد من ذكر قواعد الأسس.^[٢]

قواعد الأسس

قبل البدء بشرح الأسس النسبية في الرياضيات لابد من ذكر القواعد التي تنطبق على كافة الأسس وهي عامة في علم الرياضيات على اختلاف شكل الأس أو إشارته، وهذه القواعد تشمل عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة بين الأسس عندما يكون الأساس مختلفًا أو متشابهًا وهي كما يأتي:^[٣]

• عند ضرب أساسين متشابهين ولهما أسس مختلفة، فإنه يمكن جمع الأسس مع بعضهما ويبقى لهما نفس الأساس.
• عند قسمة أساسين متشابهين ولهما أسس مختلفة، فإنه يمكن طرح الأسس أس المقام من أس البسط ويبقى الأساس نفسه.
• عند ضرب أساسين مختلفين ولهما نفس الأس فإن الأس يتوزع عليهما.
• عند قسمة أساسين مختلفين لهما نفس الأس فإن الأس يتوزع على البسط وعلى المقام.
• عندما يكون هناك أساس له أُسان مختلفان، فإن الأسس تضرب مع بعضها.
• عندما يكون الأس صفر فإن قيمة العدد كله تساوي واحد.
• إذا كان الأس سالبًا فإنه يمكن قلب العدد ويصبح الأس موجبًا.

شرح الأسس النسبية في الرياضيات

لشرح الأسس النسبية في الرياضيات يجب الإشارة إلى أن الأسس النسبية تختلف عن الأسس العادية في أنّ الأسس النسبية تكون على شكل كسر أي بسط ومقام، وكما هو معروف فإن العدد النسبي هو أي عدد يمكن كتابته على شكل بسط ومقام، والأسس العادية يكون فيها الأس رقم واحد فقط موجب أو سالب أو صفر، وتُعامل الأسس النسبية مثلها مثل الأسس العادية وتنطبق عليها كافة قوانين الأسس العامة التي ذُكرت سابقًا، كما تُعبّر الأسس النسبية أيضًا عن قيمة الجذر التربيعي والجذر التكعيبي فبدلًا من كتابة العدد بإشارة الجذر سوف يُكتب على شكل أس بسطه الرقم واحد ومقامه الرقم اثنان للجذر التربيعي وثلاثة للجذر التكعيبي، وللتوضيح أكثر يمكن ذكر القاعدة كما يأتي:^[٤]

• إذا كان ن عددًا زوجيًا موجبًا، وكانت س عددًا حقيقيًا موجبًا مثل الجذر التربيعي فإن: س√ = س^1/2
• إذا كان ن عددًا فرديًا موجبًا، وكانت س عددًا حقيقيًا موجبًا مثل الجذر التكعيبي فإن: س∛ = س^1/3

وتجدر الإشارة هنا إلى أنه ليس كل الأسس النسبية عبارة عن جذور، فهناك الأسس النسبية التي يكون الأس فيها كسر له بسط غير الرقم واحد، وفي هذه الحالة يجب الانتباه إلى القوانين التي تُطبّق على جمع الكسور وطرحها والحاجة إلى توحيد المقامات في حالة اختلاف قيمة المقام بين الكسرين، قبل الجمع أو الطرح كما في الأمثلة الآتية:^[٤]

• س^1/4 * س^1/2 = س^{( 1/4+1/2)} = س^(2/4+1/4) = س^3/4
• س^1/2 / س^1/3 = س^(1/2-1/3) = س^(3/6-2/6) = س^1/6

أما إذا كان الأساس مختلف والأسس متشابهة، فليس هناك طريقة سريعة للحل إلا فقط بتوزيع الأس على العددين المضروبين أو المقسموين وإيجاد ناتج الأس منهما ثم إكمال عملية الضرب أو القسمة كما في الأمثلة الآتية:^[٤]

• (س*ص)⁵ = س⁵ * ص⁵
• (س/ص)⁵ = س⁵ / ص⁵

وهناك أيضًا الأسس النسبية السالبة والتي تنتج عندما يكون الرقم الذي فيه الأس في المقام، ويمكن رفع الرقم ووضعه في البسط لكن يجب أن تُوضع إشارة الأس سالبة، ويمكن التعامل معها بنفس طريقة التعامل مع الأسس النسبية السابقة وتطبيق قوانين الأسس عليها كما في المثال :^[٤] 1/ س^1/2 = س^-1/2

استخدام الأسس في الحياة اليومية

المراجع[+]

1. ↑ "Exponentiation", www.en.wikipedia.org, Retrieved 05-08-2019. Edited.
2. ↑ "history-exponents", www.sciencing.com, Retrieved 05-08-2019. Edited.
3. ↑ "Exponentiation", www.wikiwand.com, Retrieved 05-08-2019. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث} "fractional-exponents", www.sciencing.com, Retrieved 05-08-2019. Edited.
5. ↑ "Everyday Usage of Exponents", www.thoughtco.com, Retrieved 05-08-2019. Edited.